La transformation de Fisz pour l'estimation de l'image des intensités d'un bruit Poissonien dans le domaine des ondelettes

La transformation de Fisz pour l'estimation de l'image des intensités d'un bruit Poissonien dans le domaine des ondelettes

The Fisz transformation for Poisson intensity estimation of images in the wavelet domain

Jalal M. Fadili Jérôme Mathieu  Michel Desvignes 

GREYC CNRS UMR 6072, ENSICAEN, 6, bd du Maréchal Juin, 14050 Caen, France

LIS CNRS UMR 5083, 961 rue de la Houille Blanche, BP 46, 38402 St Martin d'Hères

Corresponding Author Email: 
Jalal.Fadili@greyc.ismra.fr
Page: 
313-328
|
Received: 
15 December 2003
| |
Accepted: 
N/A
| | Citation

OPEN ACCESS

Abstract: 

A novel wavelet-based Poisson-intensity estimator of images is presented. This method is based on the asymptotic normality of a certain function of the Haar wavelet and scaling coefficients called the Fisz transformation. Some asymptotic results such as normality and decorrelation of the transformed image samples are extended to the 2D case. This Fisz-transformed image is then treated as if it was independent and gaussian variables. Then we apply a novel Bayesian denoiser that we have recently developed. In the latter, a prior model is imposed on the wavelet coefficients designed to capture the sparseness of the wavelet expansion. Seeking probability models for the marginal densities of the wavelet coefficients, the new family of Bessel K forms densities are shown to fit very well to the observed histograms. Exploiting this prior, we designed a Bayesian nonlinear denoiser and a closed-form for its expression was derived. Our Fisz-transformation based Bayesian denoiser compares very favorably to variance stabilizing transformation methods in both smooth and piece-wise constant intensities. It clearly outperforms the other denoising methods especially in the low-count setting. Combining the Fisz transform and the BKF Bayesian denoiser yields the best performance.

Résumé

Nous présentons un nouvel estimateur de l’image des intensités (taux de comptage) d’un bruit Poissonien dans le domaine des ondelettes. Cette méthode est basée sur la normalité asymptotique d’une fonction non-linéaire des coefficients de détail et d’échelle de la transformée de Haar, appelée la transformée de Fisz. Nous exposons quelques résultats asymptotiques, tels que la normalité et la décorrélation des pixels de l’image transformée. Fort de ces résultats, l’image originale bruitée par un processus de Poisson, peut être considérée après transformation de Fisz comme étant contaminée par un bruit additif gaussien et blanc. Ainsi, les débruiteurs classiques s’appliquent directement. Plus exactement, nous appliquons dans le cadre de ce papier un estimateur bayésien que nous avons récemment développé, utilisant comme a priori une nouvelle classe de distributions, les formes K de Bessel (FKB). Les simulations menées montrent que la transformation de Fisz offre des performances au moins aussi bonnes que les transformations stabilisatrices de la variance pour des images des intensités régulières ou constantes par morceaux. Elle dépasse clairement ces approches lorsque le taux de comptage est faible. Combiner la transformation de Fisz avec le débruiteur bayésien FKB offre les meilleurs résultats.

Keywords: 

Wavelets, Poisson process, Fisz transformation, Bayesian estimator, Bessel K forms

Mots clés

Ondelettes, processus de Poisson, transformation de Fisz, estimateur bayésien, formes K de Bessel

1. Introduction
2. Ondelettes, Débruitage Et Bruit Gaussien
3. Ondelettes, Débruitage Et Bruit Poissonien
4. Résultats Et Discussion
5. Discussion Et Conclusion
Appendix 1
  References

ABRAMOVICH F., SAPATINAS T. et SILVERMAN B., 1998, Wavelet thresholding via a Bayesian approach. J. R. Statist. Soc. B, Vol. 60, 725-749.

ABRAMOWITZ M. et STEGUN I. A., 1972, Handbook of mathematical functions. New York: Dover Publications.

ACHIM A., BEZERIANOS A. et TSAKALIDES P., 2001, Novel Bayesian multiscale method for speckle removal in medical ultrasound images. IEEE Transactions on Medical Imaging, Vol. 20, 772-783.

ANTONIADIS A., BIGOT J. et SAPATINAS T., 2001, Wavelet estimators in nonparametric regression: A comparative simulation study. Journal of Statistical Software, Vol. 6, No. 6, 1-83.

CHANG S., YU B. et VETTERLI M., 2000a, Adaptive wavelet thresholding for image denoising and compression. IEEE Transactions on Image Processing, Vol. 9, No. 9, 1522-1531.

CHANG S., YU B. et VETTERLI M., 2000b, Spatially adaptive wavelet thresholding with context modeling for image denoising. IEEE Transactions on Image Processing, Vol. 9, No. 9, 1532-1546.

CHARLES C. et RASSON J.-P., 2003, Wavelet denoising of Poisson-distributed data and applications. Computational Statistics and Data Analysis, Vol. 43, 139-148.

CHIPMAN H., KOLACZYK E. et MCCULLOCH R., 1997, Adaptive Bayesian wavelet shrinkage. J. Am. Statist. Ass., Vol. 92, 1413-1421.

CLYDE M., PARMIGIANI G., VIDAKOVIC B., 1998, Multiple shrinkage and subset selection in wavelets. Biometrika, Vol. 85, No. 2, 391-401.

DONOHO D. L., JOHNSTONE I. M.,1994, Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage. Biometrika, Vol. 81, No. 3, 425-455.

DONOHO D. L., JOHNSTONE I. M.,1995, Adapting to unknown smoothness via wavelet shrinkage. Journal of the American Statistical Association, Vol. 90, No. 432, 1200-1224.

DONOHO D. L., JOHNSTONE I. M., KERKYACHARIAN G. et PICARD

D.,1995, Wavelet shrinkage: Asymptopia?, J. R. Statist. Soc. B., Vol. 57, No. 2, 301-337.

FADILI J., 2003, Analytical form for a Bayesian wavelet estimator of images using the Bessel k Form densities. IEEE Transaction on Image Processing, accepté.

FISZ M.,1955, The limiting distribution function of two independent random variables and its statistical application. Colloquium Mathematicum, Vol. 3, 138-146.

FLAMENT S., WARSITO, CORDIER C., MECHIN L. et BLOYETD., 2001, High resolution magneto-optical study of superconducting thin films and devices. IEEE Transactions on Applied Superconductivity, Vol. 11, No. 1, 3174-3177.

FRYZLEWICZ P. et NASON G. P., 2004, A Haar-Fisz algorithm for Poisson intensity estimation. Journal of Computational and Graphical Statistics, sous presse.

GRADSHTEYN I. et RYZHIK I.,1980, Table of integrals, series and products (A. Jeffrey ed.). Academic Press.

GRENANDER U. et SRIVASTAVA A., 2001, Probability models for clutter in natural images. IEEE Transcations on Pattern Analyse and Machine Intelligence, Vol. 23, No. 4, 424-429.

KOLACZYK E.,1999, Wavelet shrinkage estimation of certain Poisson intensity signals using corrected thresholds. Statistica Sinica, Vol. 9, 119-135.

MALLAT S. G.,1989, A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation. IEEE Transcations on Pattern Analyse and Machine Intelligence, Vol. 11, No. 7, 674-693.

MALLAT S. G.,1999, A wavelet tour of signal processing (2nd ed.). New York: Academic Press.

MATHIEU J., 2002, Transformée en ondelettes et régression non-paramé-trique dans un contexte bayésien. Rapport de DEA, Ecole Nationale Supérieure d’Ingénieur, Caen.

NIKIAS C. L. et SHAO M.,1995, Signal processing with α-stable distributions and applications. Wiley-Interscience.

PERCIVAL D. B. et WALDEN A. T., 2000, Wavelet methods for time series analysis. Cambridge Press.

SARDY S., ANTONIADIS A. et TSENG P., 2004, Automatic smoothing with wavelets for a wide class of distributions. Journal of Computational and Graphical Statistics, Vol. 12, sous presse.

SIMONCELLI E. P. et ADELSON E. H.,1996, Noise removal via Bayesian wavelet coring. In Third int’l conf on image proc (Vol. 1, pp. 379-382). Lausanne: IEEE Signal Processing Society.

SRIVASTAVA A., LIU X. et GRENANDER U., 2002, Universal analytical forms for modeling image probabilities. IEEE Transcations on Pattern Analyse and Machine Intelligence, Vol. 24, No. 9, 1200-1214.

STARCK J.-L. et MURTAGH F., 2001, Astronomical image and signal processing looking at noise, information and scale. IEEE Signal Processing Magazine, Vol. 18, 30-40.

VIDAKOVIC B.,1999, Statistical modeling by wavelets. New York: John Wiley & Sons.

VIDAKOVIC B. et RUGGERI F., 2000, Bams method: Theory and simulations (Rapp. Tech.). Duke University: Institute of Statistics and Decision Sciences.