Analysis Methods for Fractional Brownian
Méthodes D’Analyse du Mouvement Brownien Fractionnaire: Théorie et Résultats Comparatifs
OPEN ACCESS
In this paper, several analysis methods for fractional Brownian motion are studied using reference test signals generated by the Cholesky procedure. Several sets of 100 signals having sample size ranging from N = 32to 1024 by power of 2 are generated for H = 0.1 to 0.9 by steps of 0.1. Analysis techniques of the H parameter among the most well known in signal processing are studied. They are grouped in four categories: frequency based methods, geometrical methods, time methods, and multi-resolution methods. Quality of these estimators is assessed in terms of bias and variance. The variance is compared to the Cramer-Rao lower bound (CRLB). Statistical tests show that only the maximum likelihood estimator (MLE) is efficient (unbiased and reaches the CRLB) for every H and N tested. This experimental result about the efficiency of MLE extends that demonstrated by Dahlhaus only in theasymptotical case [1]. But MLE has a high computer burden in case of signals having a lot of samples. The Whittle approximation in the frequency domain of the MLE allows to get ride of these limitations, this technique being asymptotically efficient. Finally, results show that MLE approach can be used to measure the H parameter on signals embedded in a white noise.
Résumé
Cet article a pour objectif de comparer les performances des différents estimateurs du paramètre H du mouvement brownien fractionnaire (fBm) sur des signaux théoriquement exacts synthétisés par la méthode de Cholesky. Des ensembles de 100 signaux de taille N = 32à 1024 par puissance de 2 sont générés pour des valeurs du paramètre H variant de 0.1 à 0.9 par pas de 0.1. Les principales méthodes d’estimation ont été regroupées en quatre classes : les méthodes géométriques, les méthodes temporelles, les méthodes fréquentielles, et enfin les méthodes basées sur une décomposition multi-échelles. Chaque technique a été évaluée en termes de biais et de variance, cette dernière étant comparée à la borne de Cramer-Rao (BCR). Des tests statistiques montrent que seul l’estimateur par maximum de vraisemblance (EMV) est efficace (non biaisé et atteignant la BCR) pour toutes les valeurs de H et de N testées. Ce résultat expérimental complète les résultats théoriques d’efficacité de l’EMV démontrés par Dahlhaus uniquement dans le cas asymptotique [1]. D’un point de vue pratique, l’implémentation de l’EMV devient d’un coût calculatoire important pour des signaux de grande longueur. L’approche de Whittle du maximum de vraisemblance dans le domaine fréquentiel permet de lever ces limitations, cette technique étant asymptotiquement efficace. Enfin, des résultats montrent que l’approche EMV permet de traiter le cas des signaux fBm pollués par un bruit.
Fractional Brownian motion, fBm, maximum likelihood estimator, Whittle method.
Mots clés
Mouvement brownien fractionnaire, fBm, maximum de vraisemblance, méthode de Whittle.
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