Introduction aux Statistiques de deuxième espèce : applications des Logs-moments et des Logs-cumulants à l’analyse des lois d’images radar
Introduction to second kind statistics : application of Log-moments and Log-cumulants to SAR image law analysis
OPEN ACCESS
Statistics methods classicaly used to analyse a probability density function (p.d.f.) are based on Fourier Transform, on which usefull tools as first and second characteristic functions are based, yielding the definitions of moments and cumulants. Yet this transform does not well match with p.d.f. defined on R+ as analytical expressions can be rather heavy in this case. In this article, we propose to start with a rather misknown transform: the Mellin transform, in order to define second kind statistics. By this way, second kind characteristic functions, second kind moments (log-moments) and second kind cumulants (log-cumulants) can be defined by mimicing the traditional definitions. For classical p.d.f. defined on R+, as Gamma and Nakagami laws, this approach seems to be simpler than previous one. More, for complicated p.d.f., as the famous K law or positive α-stable distributions, second kind statistics yield oversimple results.
This new approach provides new methods for estimating the parameters of p.d.f. defined on R+. Comparisons can be done with traditional methods as Maximum Likehood Method and Moment Method: the variance of the new methods estimators are lower than Moment Method ones, and slightly upper than Cramer Rao bounds.
Résumé
Les méthodes utilisées en statistique pour étudier une distribution de probabilité (d.d.p.) sont fondées sur la transformée de Fourier, approche qui permet d’établir les définitions des fonctions caractéristiques, des moments et des cumulants. Cependant, cette transformation est mal adaptée à des d.d.p. définies sur R+ car les expressions analytiques des fonctions caractéristiques peuvent alors devenir très lourdes, voire impossibles à formuler. Cet article propose de substituer à la transformée de Fourier la transformée de Mellin. Il est alors possible, en s’inspirant des précédentes définitions, d’introduire les statistiques de deuxième espèce : fonctions caractéristiques de deuxième espèce, moments de deuxième espèce (ou log-moments) et cumulants de deuxième espèce (ou logcumulants). Appliquée à des lois classiques comme la loi Gamma ou la loi de Nakagami, cette approche donne des résultats plus faciles à utiliser que l’approche classique. De plus, pour des lois plus compliquées, comme la loi K ou les distributions α-stables positives, les statistiques de deuxième espèce donnent des expressions vraiment très simples et aisées à exploiter.
Cette nouvelle approche propose donc des méthodes innovantes pour estimer les paramètres de lois définies sur R+. Il est possible de comparer les estimateurs ainsi obtenus avec ceux de la méthode des moments ou celui du maximum de vraisemblance : on peut ainsi montrer que ces nouvelles méthodes ont des variances d’estimées inférieures à la première et légèrement supérieures aux bornes de Cramer Rao.
Probability Density Functions defined on R+, Gamma law, Nakagami law, characteristic functions, parameters estimation, Mellin transform
Mots clés
Lois statistiques définies sur R+, loi Gamma, loi de Nakagami, fonctions caractéristiques, estimation de paramètres, transformée de Mellin
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